原標(biāo)題：還不了解fft原理?帶你三分鐘搞定fft原理

一、FFT概述

快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，簡(jiǎn)稱(chēng)FFT）是一種高效計(jì)算離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，簡(jiǎn)稱(chēng)DFT）及其逆變換的算法。傅里葉變換是信號(hào)處理領(lǐng)域的重要工具，能夠?qū)⑿盘?hào)從時(shí)域（時(shí)間域）轉(zhuǎn)換到頻域（頻率域），從而方便我們分析信號(hào)的頻率成分。然而，直接計(jì)算DFT的復(fù)雜度較高，為O(N2)，其中N是信號(hào)的長(zhǎng)度。FFT算法通過(guò)利用DFT的周期性和對(duì)稱(chēng)性，將計(jì)算復(fù)雜度降低到O(NlogN)，極大地提高了計(jì)算效率。

二、FFT的基本原理

1. 分治策略

   FFT算法的核心是分治策略。它將一個(gè)長(zhǎng)度為N的DFT分解為多個(gè)較短的DFT，通過(guò)遞歸的方式逐步求解，最后再將結(jié)果合并。這種策略能夠顯著減少計(jì)算量。

2. 蝶形運(yùn)算

   在FFT的計(jì)算過(guò)程中，蝶形運(yùn)算是基本單元。蝶形運(yùn)算涉及兩個(gè)輸入點(diǎn)，通過(guò)特定的加法和乘法操作，產(chǎn)生兩個(gè)輸出點(diǎn)。這些操作在FFT的每一級(jí)遞歸中都會(huì)進(jìn)行，直到得到最終的DFT結(jié)果。

3. 周期性和對(duì)稱(chēng)性

   FFT算法充分利用了DFT的周期性和對(duì)稱(chēng)性。例如，對(duì)于長(zhǎng)度為N（N為2的冪次方）的信號(hào)，其DFT結(jié)果具有周期性和對(duì)稱(chēng)性，這使得在計(jì)算過(guò)程中可以省略一些冗余的計(jì)算。

三、FFT的具體實(shí)現(xiàn)

1. 按時(shí)間抽?。―IT）和按頻率抽?。―IF）

   FFT算法有兩種主要的實(shí)現(xiàn)方式：按時(shí)間抽?。―ecimation-In-Time，DIT）和按頻率抽?。―ecimation-In-Frequency，DIF）。DIT算法將信號(hào)按時(shí)間順序分解為較短的子信號(hào)，而DIF算法則按頻率順序進(jìn)行分解。兩種算法在本質(zhì)上是一致的，只是分解和組合的方式不同。

2. 基-2算法和基-4算法

   對(duì)于長(zhǎng)度為N=2k（k為正整數(shù)）的信號(hào)，F(xiàn)FT算法可以采用基-2或基-4的方式實(shí)現(xiàn)?；?2算法每次將信號(hào)分解為兩個(gè)較短的子信號(hào)，而基-4算法則每次分解為四個(gè)?；?4算法在某些情況下可以進(jìn)一步提高計(jì)算效率，但實(shí)現(xiàn)起來(lái)相對(duì)復(fù)雜。

3. 輸入數(shù)據(jù)的重排

   在進(jìn)行FFT計(jì)算之前，通常需要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行重排。這是因?yàn)樵谶f歸計(jì)算過(guò)程中，數(shù)據(jù)需要按照特定的順序進(jìn)行處理。重排操作可以通過(guò)位逆序的方式實(shí)現(xiàn)，即將數(shù)據(jù)的二進(jìn)制表示進(jìn)行逆序排列。

四、FFT的應(yīng)用

FFT算法在信號(hào)處理、圖像處理、通信系統(tǒng)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。例如，在語(yǔ)音處理中，F(xiàn)FT可以用于提取語(yǔ)音信號(hào)的頻譜特征；在圖像處理中，F(xiàn)FT可以用于圖像壓縮和濾波；在通信系統(tǒng)中，F(xiàn)FT可以用于調(diào)制解調(diào)和多址接入等。

五、總結(jié)

FFT算法是一種高效計(jì)算DFT的算法，通過(guò)分治策略和蝶形運(yùn)算，將計(jì)算復(fù)雜度降低到O(NlogN)。它在信號(hào)處理、圖像處理、通信系統(tǒng)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。了解FFT原理，有助于我們更好地理解和應(yīng)用這一強(qiáng)大的工具。